Bayern Abitur Mathematik

## Grenzwert einer Funktion Nähert sich $x$ einer Stelle $x_0$, und nähern sich dabei die Funktionswerte $f(x)$ einer Zahl $g$, so schreibt man $\lim_{x \to x_0} f(x) = g$. Man sagt, $g$ sei der **Grenzwert** von $f$ an der Stelle $x_0$. Dabei kommt es nicht darauf an, ob $f(x_0)$ selbst definiert ist; entscheidend ist das Verhalten in der Umgebung. Wird $x$ nur von einer Seite angenähert, schreibt man $x \to x_0^+$ (von rechts) oder $x \to x_0^-$ (von links). Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Auch für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ werden Grenzwerte betrachtet. Strebt $f(x)$ dabei gegen eine Zahl $g$, hat der Graph die waagrechte Asymptote $y = g$. Wachsen die Funktionswerte über jede Schranke, schreibt man $\lim f(x) = +\infty$ beziehungsweise $-\infty$; dann existiert kein Grenzwert im Sinne einer Zahl, man spricht von uneigentlicher Konvergenz oder Divergenz. Grenzwerte lassen sich wie Zahlen verknüpfen, solange die einzelnen Grenzwerte existieren. Für $\lim f(x) = g$ und $\lim h(x) = k$ gilt: $$ \lim \bigl(f(x) + h(x)\bigr) = g + k, \qquad \lim \bigl(f(x) \cdot h(x)\bigr) = g \cdot k, \qquad \lim \frac{f(x)}{h(x)} = \frac{g}{k} \quad (k \neq 0). $$ Bei einem Bruch aus Polynomen für $x \to \infty$ klammert man die höchste Potenz des Nenners in Zähler und Nenner aus und verwendet $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ für $n \geq 1$: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x}{x^2 + 4} = \lim_{x \to…