Baccalauréat Mathématiques

## Ensembles finis et listes Un ensemble est **fini** lorsqu'il a un nombre fini d'éléments, et ce nombre est son **cardinal**, noté $\mathrm{Card}(A)$ ou $|A|$. Pour $A=\{a\,;b\,;c\}$, on a $\mathrm{Card}(A)=3$. L'ensemble vide $\varnothing$ a pour cardinal $0$. Un **couple** est une liste ordonnée de deux éléments, un **triplet** une liste ordonnée de trois éléments, et plus généralement un **$k$-uplet** (ou **$k$-liste**) est une liste ordonnée de $k$ éléments, écrite $(x_1\,;x_2\,;\dots\,;x_k)$. L'ordre compte et les répétitions sont permises : $(1\,;2)$ et $(2\,;1)$ sont deux couples différents, et $(1\,;1)$ est un couple. Le **produit cartésien** de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des couples dont le premier élément est dans $A$ et le second dans $B$ : $$A\times B=\{(a\,;b)\mid a\in A,\ b\in B\}.$$ Le produit de trois ensembles, $A\times B\times C$, est l'ensemble des triplets, et ainsi de suite. Lorsque tous les facteurs sont le même ensemble $A$, on note $A^k=A\times\dots\times A$ l'ensemble des $k$-uplets d'éléments de $A$. Par exemple, $\{0\,;1\}^3$ contient les huit triplets $(0\,;0\,;0)$, $(0\,;0\,;1)$, jusqu'à $(1\,;1\,;1)$. Ces notions valent pour des ensembles quelconques, mais les dénombrements ne portent ici que sur des ensembles finis. ## Principe additif Si $A_1,\dots,A_m$ sont des ensembles finis **deux à deux disjoints** (aucun élément n'appartient à deux d'entre eux), le cardinal de leur réunion est la somme des cardinaux…