Bayern Abitur Mathematik

Grenzwert einer Funktion

Nähert sich $x$ einer Stelle $x_0$, und nähern sich dabei die Funktionswerte $f(x)$ einer Zahl $g$, so schreibt man $\lim_{x \to x_0} f(x) = g$. Man sagt, $g$ sei der Grenzwert von $f$ an der Stelle $x_0$. Dabei kommt es nicht darauf an, ob $f(x_0)$ selbst definiert ist; entscheidend ist das Verhalten in der Umgebung. Wird $x$ nur von einer Seite angenähert, schreibt man $x \to x_0^+$ (von rechts) oder $x \to x_0^-$ (von links). Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen.

Auch für $x \to +\infty$ und $x \to -\infty$ werden Grenzwerte betrachtet. Strebt $f(x)$ dabei gegen eine Zahl $g$, hat der Graph die waagrechte Asymptote $y = g$. Wachsen die Funktionswerte über jede Schranke, schreibt man $\lim f(x) = +\infty$ beziehungsweise $-\infty$; dann existiert kein Grenzwert im Sinne einer Zahl, man spricht von uneigentlicher Konvergenz oder Divergenz.

Grenzwerte lassen sich wie Zahlen verknüpfen, solange die einzelnen Grenzwerte existieren. Für $\lim f(x) = g$ und $\lim h(x) = k$ gilt:

Bei einem Bruch aus Polynomen für $x \to \infty$ klammert man die höchste Potenz des Nenners in Zähler und Nenner aus und verwendet $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ für $n \geq 1$:

Ergibt sich an einer Stelle $\frac{0}{0}$, kürzt man den gemeinsamen Faktor, bevor man einsetzt:

Stetigkeit

Eine Funktion $f$ heißt an einer Stelle $x_0$ ihres Definitionsbereichs stetig, wenn $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ gilt. Der Graph hat dort keine Lücke und keinen Sprung. Stetig in einem Intervall heißt stetig an jeder Stelle des Intervalls; anschaulich kann man den Graphen dann ohne Absetzen des Stifts zeichnen.

Ganzrationale Funktionen, die Funktionen $\sin$, $\cos$, $\mathrm{e}^x$, $\ln x$ und $\sqrt{x}$ sind in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. Summen, Produkte, Quotienten (mit Nenner ungleich null) und Verkettungen stetiger Funktionen sind wieder stetig. Gebrochenrationale Funktionen sind damit in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig; an einer Definitionslücke ist von Stetigkeit nicht die Rede, weil dort kein Funktionswert existiert.

Bei abschnittsweise definierten Funktionen entscheidet sich die Stetigkeit an den Nahtstellen. Gegeben sei

Der linksseitige Grenzwert an der Stelle $2$ ist $2^2 + 1 = 5$, der Funktionswert ist $2a - 1$. Stetigkeit verlangt $5 = 2a - 1$, also $a = 3$.

Der Zwischenwertsatz folgt aus der Stetigkeit: Ist $f$ auf $[a; b]$ stetig und liegt eine Zahl $c$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$, so nimmt $f$ den Wert $c$ an mindestens einer Stelle in $[a; b]$ an. Damit lässt sich die Existenz einer Nullstelle zeigen, wenn $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen haben. Für $f(x) = x^3 + x - 1$ ist $f(0) = -1 < 0$ und $f(1) = 1 > 0$, also hat $f$ in $]0; 1[$ mindestens eine Nullstelle.

Mittlere und lokale Änderungsrate

Der Differenzenquotient von $f$ im Intervall $[x_0; x]$ ist

Er gibt die mittlere Änderungsrate von $f$ in diesem Intervall an und ist die Steigung der Sekante durch die Punkte $(x_0 \mid f(x_0))$ und $(x \mid f(x))$. Lässt man $x$ gegen $x_0$ gehen, wird aus der Sekante die Tangente. Existiert der Grenzwert, heißt er Differentialquotient oder Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$:

Dann heißt $f$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar. Die Zahl $f'(x_0)$ ist die lokale (momentane) Änderungsrate und die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt $(x_0 \mid f(x_0))$. Die Funktion $f'$, die jeder Stelle die Ableitung zuordnet, heißt Ableitungsfunktion.

Beispiel: Für $f(x) = x^2$ an der Stelle $x_0 = 3$ ist

Mit der $h$-Schreibweise für eine beliebige Stelle $x_0$:

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Ist $f$ an einer Stelle differenzierbar, so ist $f$ dort auch stetig. Die Umkehrung gilt nicht: Die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ ist an der Stelle $0$ stetig, aber nicht differenzierbar. Der Differenzenquotient $\frac{|h|}{h}$ hat für $h \to 0^+$ den Wert $1$ und für $h \to 0^-$ den Wert $-1$; der Graph hat dort einen Knick. Auch eine senkrechte Tangente bedeutet, dass $f$ an dieser Stelle nicht differenzierbar ist, etwa bei $f(x) = \sqrt{x}$ an der Stelle $0$.

Tangente und Normale

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ hat die Steigung $m = f'(x_0)$ und die Gleichung

Die Normale steht in $P$ senkrecht auf der Tangente. Zwei Geraden mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn $m_1 \cdot m_2 = -1$ gilt. Die Normale hat also die Steigung $-\frac{1}{f'(x_0)}$, sofern $f'(x_0) \neq 0$ ist.

Beispiel: Gegeben ist $f(x) = x^3 - 2x$ und der Punkt mit $x_0 = 1$. Es ist $f(1) = -1$ und $f'(x) = 3x^2 - 2$, also $f'(1) = 1$. Die Tangente lautet $y = 1 \cdot (x - 1) - 1 = x - 2$. Die Normale hat die Steigung $-1$ und die Gleichung $y = -(x - 1) - 1 = -x$.

Der Steigungswinkel $\alpha$ einer Geraden mit der Steigung $m$ gegenüber der positiven $x$-Achse erfüllt $\tan \alpha = m$. Für die Tangente im Beispiel gilt $\tan \alpha = 1$, also $\alpha = 45^\circ$.

Eine Stelle mit $f'(x_0) = 0$ hat eine waagrechte Tangente. Sucht man die Stellen, an denen die Tangente eine vorgegebene Steigung $m$ hat, löst man $f'(x) = m$. Für $f(x) = x^3 - 2x$ und $m = 10$ ergibt $3x^2 - 2 = 10$ die Lösungen $x = \pm 2$.