Canarias EvAU Matemáticas II

Definiciones

Una matriz de dimensión $m \times n$ es una tabla de números reales ordenados en $m$ filas y $n$ columnas. El elemento que está en la fila $i$ y la columna $j$ se escribe $a_{ij}$, y la matriz se escribe $A = (a_{ij})$. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden todos sus elementos posición a posición.

Según su forma o sus elementos, algunas matrices reciben nombre propio:

La diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$.

Suma y producto por un escalar

Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión, y se suman elemento a elemento. El producto de un número real $k$ por una matriz multiplica cada elemento por $k$.

La suma es asociativa y conmutativa, tiene como elemento neutro la matriz nula y cada matriz $A$ tiene opuesta $-A$. El producto por escalares cumple $k(A+B) = kA + kB$ y $(k+l)A = kA + lA$.

Producto de matrices

El producto $A \cdot B$ solo está definido cuando el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$. Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, el resultado es una matriz $m \times p$ cuyo elemento $c_{ij}$ es el producto de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$:

Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (de dimensión $2\times 3$) y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ (de dimensión $3 \times 2$), el producto es de dimensión $2 \times 2$:

El producto $BA$ también existe en este caso, pero es de dimensión $3 \times 3$, así que $AB \neq BA$.

Propiedades del producto

• Es asociativo: $(AB)C = A(BC)$.
• Es distributivo respecto de la suma: $A(B + C) = AB + AC$ y $(A + B)C = AC + BC$.
• La matriz identidad es neutra: $A I_n = I_m A = A$ si $A$ es $m \times n$.
• En general no es conmutativo. Incluso con matrices cuadradas del mismo orden suele ocurrir que $AB \neq BA$.
• Puede haber divisores de cero: $AB = O$ no obliga a que $A = O$ o $B = O$. Por ejemplo,

• Por ello no se puede simplificar: $AB = AC$ no implica $B = C$ en general.

Como el producto no es conmutativo, el desarrollo de una identidad notable cambia. Se cumple $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$, y solo coincide con $A^2 + 2AB + B^2$ si $AB = BA$.

Matriz traspuesta

La traspuesta de $A$, que se escribe $A^t$, se obtiene cambiando filas por columnas: si $A$ es $m \times n$, entonces $A^t$ es $n \times m$ y $(A^t)_{ij} = a_{ji}$.

Sus propiedades son:

• $(A^t)^t = A$
• $(A + B)^t = A^t + B^t$
• $(kA)^t = kA^t$
• $(AB)^t = B^t A^t$, donde el orden se invierte.

Una matriz cuadrada es simétrica cuando $A^t = A$ y antisimétrica cuando $A^t = -A$.

Potencias de una matriz cuadrada

Si $A$ es cuadrada, $A^2 = A \cdot A$, $A^3 = A^2 \cdot A$, y así sucesivamente, con $A^0 = I$. Para obtener una potencia general $A^n$ se calculan las primeras potencias, se busca el patrón y se comprueba.

Con $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$:

Esto sugiere $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Se verifica por inducción: si es cierto para $n$, entonces $A^{n+1} = A^n A = \begin{pmatrix} 1 & n + 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, y se cumple para todo $n \geq 1$.

En otras matrices el patrón se repite de forma periódica. Con $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ se obtiene $B^2 = -I$, luego $B^3 = -B$ y $B^4 = I$. Las potencias se repiten cada cuatro, de modo que $B^{n}$ depende solo del resto de dividir $n$ entre $4$.

Matrices y vectores

Un vector de $\mathbb{R}^n$ se puede escribir como matriz fila o como matriz columna, y el producto de una matriz $m \times n$ por una columna de $n$ elementos es una columna de $m$ elementos. Este producto es el que permite escribir un sistema de ecuaciones lineales como $AX = B$ y el que usan las transformaciones del plano y del espacio.

Expresar una matriz a partir de una regla

A veces una matriz se da mediante una fórmula para $a_{ij}$. Para la matriz $A$ de orden $3$ con $a_{ij} = i - 2j$, los elementos de la primera fila son $1 - 2 = -1$, $1 - 4 = -3$ y $1 - 6 = -5$; los de la segunda, $0$, $-2$ y $-4$; y los de la tercera, $1$, $-1$ y $-3$: