Maturità Matematica

Gli insiemi N, Z, Q, R

I numeri naturali $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ servono per contare; in $\mathbb{N}$ la somma e il prodotto hanno sempre risultato, mentre la sottrazione $a-b$ si può eseguire solo se $a\ge b$. Per rendere sempre possibile la sottrazione si passa ai numeri interi $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$. In $\mathbb{Z}$ la divisione $a:b$ non è sempre possibile, e ciò porta ai numeri razionali

Vale la catena di inclusioni $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, e si scrive $\mathbb{Z}^{+}$, $\mathbb{Q}^{*}$ e così via per indicare gli insiemi privati dello zero o dei negativi. I razionali non bastano per la geometria: la diagonale di un quadrato di lato $1$ misura $\sqrt 2$, che non è razionale. I numeri irrazionali riempiono i vuoti tra i razionali e, uniti a questi, formano i numeri reali $\mathbb{R}$, che si mettono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata.

L'irrazionalità di radice di 2

Si suppone per assurdo che $\sqrt2=\dfrac mn$ con $m,n$ interi positivi primi tra loro. Elevando al quadrato si ottiene $m^2=2n^2$, quindi $m^2$ è pari e allora anche $m$ è pari, cioè $m=2k$. Sostituendo, $4k^2=2n^2$ e quindi $n^2=2k^2$, per cui anche $n$ è pari. Ma allora $m$ e $n$ hanno il fattore $2$ in comune, contro l'ipotesi. Dunque $\sqrt 2\notin\mathbb{Q}$.

La stessa dimostrazione vale per $\sqrt p$ con $p$ primo. Più in generale $\sqrt n$ è razionale solo se $n$ è un quadrato perfetto.

Rappresentazione decimale

Ogni numero razionale ha una rappresentazione decimale finita oppure periodica; ogni numero irrazionale ha una rappresentazione decimale illimitata e non periodica. Una frazione ridotta ai minimi termini $\dfrac mn$ ha sviluppo finito se e solo se $n$ ha come fattori primi soltanto $2$ e $5$.

Dal decimale alla frazione

Per un decimale finito si scrive il numero senza virgola diviso per una potenza di $10$: $2{,}35=\dfrac{235}{100}=\dfrac{47}{20}$.

Per un decimale periodico la frazione generatrice ha per numeratore la differenza tra il numero scritto senza virgola e la parte che precede il periodo, e per denominatore tanti $9$ quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti $0$ quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Il secondo caso si verifica così: posto $x=2{,}3\overline{45}$ si ha $1000x=2345{,}\overline{45}$ e $10x=23{,}\overline{45}$; sottraendo, $990x=2322$.

Il numero $0{,}\overline 9$ è uguale a $1$: con $x=0{,}\overline9$ si ha $10x-x=9$, quindi $x=1$. Due scritture decimali diverse possono dunque rappresentare lo stesso numero.

Valore assoluto

Il valore assoluto di $x\in\mathbb{R}$ è

e rappresenta la distanza di $x$ dall'origine sulla retta; $|a-b|$ è la distanza tra $a$ e $b$. Valgono $|xy|=|x||y|$, $|x|^2=x^2$, $\sqrt{x^2}=|x|$ e la disuguaglianza triangolare

Per $r>0$ si ha $|x-c|<r \iff c-r<x<c+r$ e $|x-c|>r\iff x<c-r$ oppure $x>c+r$.

Intervalli e intorni

Un intervallo è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ che contiene tutti i numeri compresi tra due suoi elementi. Con $a<b$:

Un intorno di un punto $x_0$ è un intervallo aperto che lo contiene; l'intorno circolare di raggio $\delta>0$ è $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, cioè l'insieme dei $x$ con $|x-x_0|<\delta$. Gli intorni di $+\infty$ hanno la forma $(M,+\infty)$ e quelli di $-\infty$ la forma $(-\infty,-M)$.

Un sottoinsieme $A\subseteq\mathbb{R}$ è limitato superiormente se esiste $M$ con $x\le M$ per ogni $x\in A$; il minimo dei maggioranti si chiama estremo superiore. Nei reali ogni insieme non vuoto limitato superiormente ha un estremo superiore, proprietà che nei razionali non vale: l'insieme dei razionali con $q^2<2$ non ha estremo superiore in $\mathbb{Q}$.

Numeri primi e divisibilità

Un numero naturale maggiore di $1$ è primo se ha solo due divisori, $1$ e se stesso. Ogni naturale maggiore di $1$ si scrive in modo unico, a meno dell'ordine, come prodotto di numeri primi. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo di due numeri si ottengono scomponendoli in fattori primi e prendendo rispettivamente i fattori comuni con l'esponente minore e tutti i fattori con l'esponente maggiore.

Esempio con $360=2^3\cdot3^2\cdot5$ e $84=2^2\cdot3\cdot7$:

e infatti $12\cdot 2520=30240=360\cdot 84$: il prodotto dei due numeri è uguale al prodotto di MCD e mcm.

I numeri primi sono infiniti. Se fossero in numero finito $p_1,\dots,p_k$, il numero $N=p_1p_2\cdots p_k+1$ non sarebbe divisibile per nessuno di loro e quindi avrebbe un divisore primo non in elenco, assurdo.

Base diversa da dieci

Un naturale si scrive in base $b\ge2$ come $\sum a_i b^i$ con cifre $0\le a_i<b$. Per passare dalla base $10$ alla base $2$ si divide ripetutamente per $2$ e si leggono i resti dal basso verso l'alto: $45=2\cdot22+1$, $22=2\cdot11+0$, $11=2\cdot5+1$, $5=2\cdot2+1$, $2=2\cdot1+0$, $1=2\cdot0+1$, e quindi $45=101101_2$. Si controlla: $32+8+4+1=45$.