Bayern Abitur Physik

Beschreibung mit Periode und Frequenz

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung durchläuft ein Körper eine Kreisbahn mit dem Radius $r$ und gleichbleibendem Betrag der Geschwindigkeit. Die Zeit für einen vollen Umlauf heißt Periodendauer $T$, die Anzahl der Umläufe je Sekunde Frequenz $f$:

Die Einheit der Frequenz ist $1\,\mathrm{Hz} = 1\,\mathrm{s^{-1}}$. Angaben in Umdrehungen pro Minute rechnet man um: $60\,\mathrm{min^{-1}}$ entsprechen $1\,\mathrm{Hz}$.

Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

In einem Umlauf legt der Körper den Weg $2\pi r$ zurück. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist daher

Die Geschwindigkeit hat in jedem Punkt die Richtung der Tangente an die Kreisbahn, steht also senkrecht auf dem Radius.

Um Größen der geradlinigen Bewegung auf die Kreisbewegung zu übertragen, ersetzt man den zurückgelegten Weg $s$ durch den überstrichenen Winkel $\varphi$ im Bogenmaß. Ein Winkel im Bogenmaß ist das Verhältnis von Kreisbogen $b$ zu Radius, $\varphi = b/r$, und hat die Einheit $1\,\mathrm{rad} = 1$; ein voller Umlauf entspricht $\varphi = 2\pi$. Wie aus $v = s/t$ die Geschwindigkeit wird, so definiert man die Winkelgeschwindigkeit

mit der Einheit $\mathrm{rad/s} = \mathrm{s^{-1}}$. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt $\varphi(t) = \omega\, t$ für einen Start bei $\varphi = 0$. Weil der Bogen zum Winkel $\varphi$ die Länge $r\varphi$ hat, hängen beide Geschwindigkeiten zusammen:

Alle Punkte einer rotierenden starren Scheibe haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber außen liegende Punkte haben die größere Bahngeschwindigkeit.

Die Zentripetalbeschleunigung

Obwohl der Betrag von $\vec v$ konstant bleibt, ändert sich seine Richtung ständig. Die Geschwindigkeit ändert sich also, und der Körper wird beschleunigt. Die Richtung der Beschleunigung ergibt sich aus der Änderung $\Delta\vec v = \vec v_2 - \vec v_1$ über ein kurzes Zeitintervall $\Delta t$: Die beiden Geschwindigkeitspfeile haben gleiche Länge $v$ und schließen den Winkel $\Delta\varphi$ ein, und der Differenzpfeil zeigt zum Kreismittelpunkt.

Für kleine $\Delta\varphi$ ist der Betrag von $\Delta\vec v$ gleich dem zugehörigen Kreisbogen im Geschwindigkeitsdiagramm, also $\Delta v = v\,\Delta\varphi$. Damit wird

Setzt man $v = \omega r$ oder $\omega = v/r$ ein, erhält man die Zentripetalbeschleunigung, die stets zum Mittelpunkt zeigt:

Die Zentripetalbeschleunigung steht senkrecht auf der Bahngeschwindigkeit. Sie ändert deshalb nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit.

Beispiel

Ein Karussell mit dem Radius $r = 3{,}0\,\mathrm{m}$ braucht für einen Umlauf $T = 8{,}0\,\mathrm{s}$. Dann gilt

Dasselbe Ergebnis liefert $v^2/r = (2{,}36\,\mathrm{m/s})^2 / 3{,}0\,\mathrm{m} = 1{,}85\,\mathrm{m/s^2}$. Eine Person in einer Gondel am Rand des Karussells erfährt also eine Beschleunigung von etwa einem Fünftel der Fallbeschleunigung.

Analogie zur geradlinigen Bewegung

Die Größen der Kreisbewegung entsprechen denen der Bewegung längs einer Geraden. Die Gleichungen haben dieselbe Form, solange $\omega$ konstant ist.

Die Analogie zeigt sich später wieder bei den Schwingungen: Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine Gerade ist eine harmonische Schwingung, und die Winkelgeschwindigkeit entspricht dort der Kreisfrequenz.

Zusammenhang mit Zeigern

Läuft ein Punkt mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auf einem Kreis mit dem Radius $\hat y$, so ist seine Höhe über der Mittellage $y(t) = \hat y \sin(\omega t + \varphi_0)$. Dieser umlaufende Pfeil, der Zeiger, wird bei Schwingungen, Wellen und Wechselstrom immer wieder verwendet; die Länge des Zeigers ist die Amplitude und der Winkel gegen die Achse die Phase.