Maturità Matematica e Fisica

Grandezze e unità

Una grandezza fisica è una proprietà che si può misurare, e il risultato di una misura è un numero accompagnato da un'unità. Nel Sistema Internazionale le sette unità fondamentali sono il metro (m), il chilogrammo (kg), il secondo (s), l'ampere (A), il kelvin (K), la mole (mol) e la candela (cd); tutte le altre sono derivate, come il newton $\mathrm{N} = \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$ o il joule $\mathrm{J} = \mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}}$.

L'analisi dimensionale controlla la coerenza di una formula: i due membri di un'uguaglianza devono avere le stesse dimensioni, e si possono sommare solo grandezze omogenee. Indicando con $[L]$, $[M]$, $[T]$ lunghezza, massa e tempo, la velocità ha dimensioni $[L][T]^{-1}$ e l'energia cinetica $\tfrac12 mv^2$ ha dimensioni $[M][L]^2[T]^{-2}$, le stesse del lavoro $F\,s$. Un argomento di seno, di esponenziale o di logaritmo deve essere adimensionale.

Le potenze di dieci con i prefissi (nano $10^{-9}$, micro $10^{-6}$, milli $10^{-3}$, kilo $10^{3}$, mega $10^{6}$, giga $10^{9}$) permettono di scrivere i valori in notazione scientifica. Un ordine di grandezza è la potenza di dieci più vicina al valore, e serve per stime rapide.

Incertezza di misura

Nessuna misura è esatta. Il risultato si scrive come $x = x_0 \pm \Delta x$ dove $x_0$ è il valore migliore e $\Delta x$ è l'incertezza (o errore assoluto), cioè la semiampiezza dell'intervallo in cui si ritiene cada il valore vero.

Si distinguono gli errori sistematici, che spostano tutte le misure nello stesso verso (uno strumento starato, uno zero sbagliato), dagli errori casuali, che fanno variare le misure in modo imprevedibile intorno a un valore. Ripetere la misura riduce l'effetto degli errori casuali e non di quelli sistematici, che vanno individuati e corretti.

Con uno strumento a scala graduata, e senza altre fonti di errore, l'incertezza è di solito la sensibilità, cioè la più piccola divisione della scala (oppure la metà, se si può stimare a occhio). Se si ripete la misura $N$ volte e si ottengono i valori $x_1,\dots,x_N$, il valore migliore è la media $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i$ e l'incertezza può essere stimata con la semidispersione massima $\dfrac{x_{\max}-x_{\min}}{2}$, oppure con la deviazione standard della media, $\dfrac{\sigma}{\sqrt N}$ con $\sigma=\sqrt{\dfrac{\sum (x_i-\bar x)^2}{N-1}}$.

L'errore relativo è $\dfrac{\Delta x}{x_0}$ e quello percentuale è lo stesso rapporto moltiplicato per 100. Dice quanto è precisa una misura in rapporto alla sua grandezza: $2{,}0\pm0{,}1\ \mathrm{cm}$ ha errore relativo $5\%$, mentre $200{,}0\pm0{,}1\ \mathrm{cm}$ ha errore relativo $0{,}05\%$.

Cifre significative

L'incertezza ha una o due cifre significative, e il valore migliore si scrive fino alla stessa cifra decimale dell'incertezza. Si scrive $12{,}3\pm0{,}2\ \mathrm{s}$, non $12{,}3456\pm0{,}2\ \mathrm{s}$. Nei calcoli intermedi si tengono cifre in più e si arrotonda solo il risultato finale.

Propagazione delle incertezze

Quando una grandezza si calcola da altre misurate, la sua incertezza si stima con regole semplici, valide nel caso del massimo errore.

Per la somma e la differenza si sommano gli errori assoluti: $z = x \pm y \quad\Rightarrow\quad \Delta z = \Delta x + \Delta y.$ Per il prodotto e il quoziente si sommano gli errori relativi: $z = x\,y \ \text{ oppure } \ z = \frac{x}{y} \quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta z}{z} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}.$ Per una potenza $z = x^n$ l'errore relativo si moltiplica per $|n|$: $\dfrac{\Delta z}{z} = |n|\,\dfrac{\Delta x}{x}$. Quindi una grandezza che compare al quadrato pesa due volte nell'errore relativo.

Esempio. Si misura il lato di un quadrato, $a = 4{,}0\pm0{,}1\ \mathrm{cm}$, e si vuole l'area. Vale $A = a^2 = 16\ \mathrm{cm^2}$, con errore relativo $2\cdot\dfrac{0{,}1}{4{,}0} = 0{,}05$, cioè $\Delta A = 0{,}05\cdot16 = 0{,}8\ \mathrm{cm^2}$. Il risultato è $A = 16{,}0\pm0{,}8\ \mathrm{cm^2}$, che si scrive $(16\pm1)\ \mathrm{cm^2}$ se si tiene una sola cifra per l'incertezza.

Se le grandezze sono indipendenti, si usa spesso la somma in quadratura, meno pessimistica: per $z = x + y$ si ha $\Delta z = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$. Il testo di un problema indica di solito quale regola adottare.

Accordo tra valori sperimentali

Due misure $x_1\pm\Delta x_1$ e $x_2\pm\Delta x_2$ della stessa grandezza sono compatibili se i loro intervalli di incertezza si sovrappongono, cioè se $|x_1 - x_2| \le \Delta x_1 + \Delta x_2.$ Lo stesso criterio vale per confrontare una misura con un valore previsto da un modello. Se la differenza supera la somma delle incertezze, la discrepanza non si spiega con gli errori casuali, e bisogna cercare un errore sistematico oppure mettere in dubbio il modello.

Esempio. Due misure dell'accelerazione di gravità danno $9{,}7\pm0{,}2\ \mathrm{m/s^2}$ e $9{,}85\pm0{,}05\ \mathrm{m/s^2}$. La differenza è $0{,}15$ e la somma delle incertezze è $0{,}25$, quindi i valori sono compatibili.

Rappresentazione grafica

Un grafico mette in relazione due grandezze $y$ e $x$. Gli assi riportano il nome della grandezza e l'unità, la scala è uniforme e sceglie un intervallo adatto ai dati, e ogni punto ha le sue barre d'errore (un segmento verticale lungo $\pm\Delta y$, uno orizzontale lungo $\pm\Delta x$ quando serve). Una retta o una curva si traccia in modo da passare entro le barre di errore di quasi tutti i punti, senza unire i punti a spezzata.

Proporzionalità e linearizzazione

Due grandezze sono direttamente proporzionali se $y = kx$, e il grafico è una retta per l'origine con pendenza $k$. Sono inversamente proporzionali se $y = k/x$, e il grafico è un'iperbole: riportando $y$ in funzione di $1/x$ si ottiene una retta per l'origine. Se $y = kx^2$ si riporta $y$ in funzione di $x^2$. Per $y = kx^n$, con $n$ ignoto, si prende il logaritmo: $\log y = \log k + n\log x$ e in un grafico con assi logaritmici si ottiene una retta la cui pendenza è $n$. Per una legge esponenziale $y = y_0 e^{-\lambda x}$ si usa $\ln y = \ln y_0 - \lambda x$, una retta in un grafico semilogaritmico.

La pendenza di una retta $y = mx + q$ si stima con due punti lontani fra loro sulla retta tracciata, non con due punti dei dati: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ha le dimensioni di $y$ diviso quelle di $x$. Il suo errore si stima tracciando la retta di pendenza massima e quella di pendenza minima compatibili con le barre di errore, e prendendo metà della differenza.

Esempio. In un esperimento con un pendolo si misura il periodo $T$ al variare della lunghezza $\ell$, e i punti in un grafico di $T^2$ contro $\ell$ stanno su una retta per l'origine di pendenza $4{,}0\ \mathrm{s^2/m}$. Poiché la teoria prevede $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}\ell$, si ricava $g = \dfrac{4\pi^2}{4{,}0} \approx 9{,}9\ \mathrm{m/s^2}$.