Maturità Matematica

## Gli insiemi N, Z, Q, R I numeri naturali $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ servono per contare; in $\mathbb{N}$ la somma e il prodotto hanno sempre risultato, mentre la sottrazione $a-b$ si può eseguire solo se $a\ge b$. Per rendere sempre possibile la sottrazione si passa ai numeri interi $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$. In $\mathbb{Z}$ la divisione $a:b$ non è sempre possibile, e ciò porta ai numeri razionali $$ \mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n} \;:\; m\in\mathbb{Z},\ n\in\mathbb{Z},\ n\neq 0\right\}. $$ Vale la catena di inclusioni $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, e si scrive $\mathbb{Z}^{+}$, $\mathbb{Q}^{*}$ e così via per indicare gli insiemi privati dello zero o dei negativi. I razionali non bastano per la geometria: la diagonale di un quadrato di lato $1$ misura $\sqrt 2$, che non è razionale. I numeri **irrazionali** riempiono i vuoti tra i razionali e, uniti a questi, formano i numeri reali $\mathbb{R}$, che si mettono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata. ### L'irrazionalità di radice di 2 Si suppone per assurdo che $\sqrt2=\dfrac mn$ con $m,n$ interi positivi primi tra loro. Elevando al quadrato si ottiene $m^2=2n^2$, quindi $m^2$ è pari e allora anche $m$ è pari, cioè $m=2k$. Sostituendo, $4k^2=2n^2$ e quindi $n^2=2k^2$, per cui anche $n$ è pari. Ma allora $m$ e $n$ hanno il fattore $2$ in comune, contro l'ipotesi. Dunque $\sqrt 2\notin\mathbb{Q}$. La stessa dimostrazione vale per $\sqrt p$ con $p$…