Baccalauréat Physique-Chimie

Pourquoi une mesure n'a pas une seule valeur

Quand on mesure plusieurs fois la même grandeur dans les mêmes conditions, on ne retrouve presque jamais exactement le même nombre. La valeur vraie de la grandeur reste inconnue, et chaque mesure en donne une estimation légèrement différente. Cette dispersion vient de l'instrument (résolution, étalonnage), du protocole (choix de l'instant de lecture, repérage d'un changement de couleur, nombre d'oscillations chronométrées), de l'opérateur et des conditions extérieures (température, vibrations). Un résultat de mesure complet comporte donc une valeur, une incertitude et une unité, et non la seule valeur lue.

Changer d'instrument ou de protocole modifie la dispersion. Chronométrer une seule oscillation d'un pendule à la main donne des résultats très dispersés, à cause du temps de réaction de l'opérateur de l'ordre du dixième de seconde, alors que chronométrer dix oscillations et diviser par dix réduit l'effet de ce temps de réaction sur la période. Un titrage repéré par un changement de couleur est moins répétable qu'un titrage dont l'équivalence est repérée par une courbe, parce que l'appréciation de la teinte varie d'une personne à l'autre.

Série de mesures indépendantes

Soit $n$ mesures indépendantes $x_1, x_2, \dots, x_n$ d'une même grandeur $x$. On les représente par un histogramme : on découpe l'intervalle des valeurs en classes de même largeur et on compte combien de mesures tombent dans chaque classe. Plus les valeurs sont regroupées autour d'un centre, plus la dispersion est faible. Un tableur ou un programme Python trace cet histogramme en quelques lignes, avec le nombre de classes à choisir pour que la forme reste lisible.

Moyenne et écart-type

La moyenne est la meilleure estimation de la valeur de la grandeur :

L'écart-type expérimental $s$ mesure la dispersion des mesures autour de cette moyenne :

C'est la touche notée $\sigma_{n-1}$ ou $s_x$ sur la plupart des calculatrices, et la fonction ECARTYPE.STANDARD ou STDEV.S du tableur. Le dénominateur $n-1$ et non $n$ corrige le fait que la moyenne est elle-même calculée à partir des mesures. Une valeur de $s$ grande signale des mesures dispersées, une valeur faible des mesures resserrées. L'écart-type ne dépend pas du nombre de mesures au sens où il ne diminue pas quand on en ajoute : il caractérise la dispersion d'une mesure isolée.

Incertitude-type

L'incertitude-type $u(x)$ est une grandeur de même unité que $x$ qui quantifie le doute sur le résultat. On l'interprète ainsi : avec une probabilité d'environ $68\ \%$, la valeur vraie se trouve dans l'intervalle $[\bar{x}-u(x)\,;\,\bar{x}+u(x)]$, sous les hypothèses usuelles d'une dispersion symétrique centrée sur la valeur vraie. On distingue deux façons de l'évaluer.

Évaluation de type A, statistique

Lorsqu'on dispose d'une série de $n$ mesures indépendantes, l'incertitude-type sur la moyenne vaut

Elle diminue quand $n$ augmente, mais lentement : pour la réduire d'un facteur 2 il faut quatre fois plus de mesures. Elle n'élimine pas une erreur systématique, par exemple un instrument mal étalonné qui décale toutes les valeurs du même côté.

Exemple. On chronomètre huit fois la période d'un pendule et on relève, en secondes : $1{,}52$ ; $1{,}48$ ; $1{,}50$ ; $1{,}53$ ; $1{,}47$ ; $1{,}51$ ; $1{,}49$ ; $1{,}50$. La somme vaut $12{,}00$, donc $\bar{T} = 1{,}50\ \mathrm{s}$. Les écarts à la moyenne sont $+0{,}02$ ; $-0{,}02$ ; $0$ ; $+0{,}03$ ; $-0{,}03$ ; $+0{,}01$ ; $-0{,}01$ ; $0$, et la somme de leurs carrés vaut $0{,}0028\ \mathrm{s^2}$. Ainsi

et le résultat s'écrit $T = 1{,}500 \pm 0{,}007\ \mathrm{s}$.

Évaluation de type B, non statistique

Lorsqu'on ne dispose que d'une mesure, ou quand la dispersion est dominée par l'instrument, on évalue l'incertitude à partir des caractéristiques de l'instrument fournies par le constructeur ou par la graduation. Le modèle courant suppose que la valeur vraie est située avec la même probabilité n'importe où dans un intervalle $[x-a\,;\,x+a]$ autour de la valeur lue. L'incertitude-type est alors

où $a$ est la demi-largeur de l'intervalle, par exemple la tolérance indiquée sur une verrerie jaugée ou sur une burette. Pour une lecture sur une graduation de pas $g$, la demi-largeur est $a = g/2$, d'où $u(x) = \dfrac{g}{2\sqrt{3}} = \dfrac{g}{\sqrt{12}}$. Les énoncés donnent en général la formule à utiliser, et c'est l'identification du bon $a$ qui demande de la réflexion.

Exemple. Une burette de $25{,}0\ \mathrm{mL}$ a une tolérance de $\pm 0{,}05\ \mathrm{mL}$. Une lecture unique de volume versé a donc pour incertitude-type

Un titrage comporte souvent deux lectures (volume initial et volume final), ce qui relève des incertitudes composées.

Lire la dispersion sans calcul

Avant tout calcul, on peut comparer qualitativement deux séries. Deux séries de même moyenne mais d'histogrammes de largeurs différentes n'ont pas la même dispersion : la plus étroite provient d'un protocole ou d'un instrument plus répétable. Un histogramme décalé par rapport à une valeur de référence connue, avec une dispersion faible, indique plutôt une erreur systématique qu'une erreur aléatoire. Distinguer les deux est utile pour proposer une amélioration : répéter les mesures réduit l'erreur aléatoire, alors qu'un meilleur étalonnage ou un autre protocole réduit l'erreur systématique.