Canarias EvAU Física

La ley de Newton

Dos masas puntuales cualesquiera se atraen con fuerzas que actúan a lo largo de la recta que las une, tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, de acuerdo con el principio de acción y reacción. El módulo depende del producto de las masas y disminuye con el cuadrado de la distancia que las separa:

$G$ es la constante de gravitación universal, $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$, una constante que vale lo mismo en cualquier lugar del universo. Si las masas no son puntuales pero tienen simetría esférica, el resultado es el mismo que si toda la masa estuviera concentrada en el centro, de modo que $r$ se mide entre centros. Por eso la Tierra, el Sol o un planeta se tratan como puntos cuando se estudia su efecto sobre un cuerpo que está fuera de ellos.

La forma vectorial indica también la dirección y el sentido. Si $\vec{r}$ es el vector que va de la masa que crea la interacción, $M$, hasta la masa $m$ que la sufre, y $\vec{u}_r = \vec{r}/r$ es el vector unitario en esa dirección, la fuerza que $M$ ejerce sobre $m$ es

El signo menos expresa que la fuerza apunta hacia $M$, es decir, que es siempre atractiva. La fuerza es central, porque su dirección pasa siempre por el centro de $M$, y su módulo solo depende de la distancia a ese centro. Estas dos propiedades son las que hacen conservativo al campo gravitatorio, como se ve en la nota de la energía potencial.

Si se duplica la distancia, la fuerza se divide por cuatro, y si se triplica, por nueve. Si se duplica una de las masas, la fuerza se duplica.

Ejemplo: fuerza entre la Tierra y la Luna, con $M_T = 5{,}97\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$, $M_L = 7{,}35\cdot10^{22}\ \mathrm{kg}$ y una distancia entre centros de $3{,}84\cdot10^{8}\ \mathrm{m}$:

La Luna atrae a la Tierra con esa misma fuerza, aunque a la Tierra la acelera mucho menos porque su masa es enorme.

Campo gravitatorio

Una masa modifica las propiedades del espacio que la rodea, de tal manera que cualquier otra masa colocada allí experimenta una fuerza. A esa región y a su descripción se la llama campo gravitatorio. El concepto de campo evita pensar en una acción a distancia: la masa $M$ crea el campo, y la masa $m$ interactúa con el campo que existe en el punto donde se encuentra.

La intensidad del campo gravitatorio, $\vec{g}$, en un punto es la fuerza que se ejerce por unidad de masa sobre una masa de prueba colocada en ese punto:

Se mide en $\mathrm{N\,kg^{-1}}$, que equivale a $\mathrm{m\,s^{-2}}$. Es una magnitud vectorial, con la dirección y el sentido de la fuerza que sufriría una masa, y no depende de la masa de prueba, solo de la masa que crea el campo y de la posición del punto. Para una masa puntual o esférica $M$, a una distancia $r$ de su centro:

La intensidad del campo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, y apunta hacia el centro de la masa que lo crea. Una vez conocida $\vec{g}$ en un punto, la fuerza sobre cualquier masa $m$ situada allí es $\vec{F} = m\,\vec{g}$.

Diferencia entre fuerza y campo

La fuerza gravitatoria es una interacción entre dos masas y depende de las dos. El campo es una propiedad del espacio creada por una sola masa, y existe aunque no haya nada más en el punto considerado. La fuerza se mide en newton y el campo en newton por kilogramo. Conocer el campo permite calcular la fuerza sobre cualquier masa, mientras que la fuerza solo sirve para la masa concreta sobre la que se calculó.

Relación con la aceleración de la gravedad

La segunda ley de Newton dice que $\vec{F} = m\,\vec{a}$. Si la única fuerza sobre la masa $m$ es la gravitatoria, entonces $m\,\vec{a} = m\,\vec{g}$, y por tanto $\vec{a} = \vec{g}$. La intensidad del campo gravitatorio en un punto coincide con la aceleración que adquiere cualquier cuerpo abandonado en él, sea cual sea su masa, y por eso dos cuerpos de masas distintas caen juntos si se desprecia el rozamiento. Las dos magnitudes son iguales en valor, y sus unidades, $\mathrm{N\,kg^{-1}}$ y $\mathrm{m\,s^{-2}}$, son equivalentes.

Para la Tierra, con $M_T = 5{,}97\cdot10^{24}\ \mathrm{kg}$ y $R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\ \mathrm{m}$, la intensidad en la superficie es

El peso de un cuerpo es la fuerza con que el planeta lo atrae, $P = m\,g$, y por eso varía de un planeta a otro aunque la masa sea la misma. En Marte, con $M = 6{,}42\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$ y $R = 3{,}39\cdot10^{6}\ \mathrm{m}$, se obtiene $g = 3{,}73\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, así que un cuerpo de $70\ \mathrm{kg}$ pesa allí unos $261\ \mathrm{N}$ frente a los $687\ \mathrm{N}$ que pesa en la Tierra.

Variación con la altura

A una altura $h$ sobre la superficie, la distancia al centro es $R_T + h$ y

A una altura igual al radio terrestre, $h = R_T$, la distancia al centro se duplica y $g = g_0/4 = 2{,}45\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. A $600\ \mathrm{km}$ de altura, $r = 6{,}97\cdot10^{6}\ \mathrm{m}$ y $g = 8{,}20\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, de manera que un satélite de $1200\ \mathrm{kg}$ en esa posición sufre una atracción de unos $9{,}84\cdot10^{3}\ \mathrm{N}$. Los astronautas de una estación espacial no flotan porque allí falte gravedad, que sigue siendo casi la misma que en el suelo, sino porque ellos y la nave caen juntos.

Cerca de la superficie, en distancias pequeñas frente al radio del planeta, $g$ apenas cambia y se considera constante, con lo que el campo es uniforme.

Masa de un planeta a partir de su campo

Si se conocen el radio de un astro y la intensidad del campo en su superficie, se puede despejar su masa, $M = g_0 R^2 / G$. Esta es la base de muchos cálculos en los que aparecen $g_0$ y $R$ en lugar de $G$ y $M$: al sustituir $G M = g_0 R^2$ se simplifican las operaciones. Así, para un satélite en órbita a una altura $h$, la velocidad orbital es $v = R\sqrt{g_0/(R+h)}$ sin necesidad de conocer $G$ ni la masa del planeta por separado.

Campo creado por varias masas

Si hay más de una masa, el campo en un punto es la suma vectorial de los campos que crea cada una, y se estudia con el principio de superposición en la nota siguiente, junto con la forma de representar el campo mediante líneas y superficies.